Ab welcher anzahl spricht man von einer menge

Die Mengenlehre der Mathematik beschäftigt sich mit der Menge von Objekten sowie ihrer Darstellung. Hierbei gibt es jedoch unterschiedliche Arten der Darstellung von Mengen. Die Mengenlehre ist insbesondere seit dem Jahrhundert bekannt und liefert einen grundlegenden Perspektivenwechsel auf die Unendlichkeit. Entdecke über 50 Millionen kostenlose Lernmaterialien in unserer App. Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken. Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Definition sagt also aus, dass wir verschiedene Dinge nehmen können und diese zu einer Menge zusammenfassen können. Als Beispiel kann die Menge aller Gegenstände auf deinem Schreibtisch oder der Einkauf vom Supermarkt genannt werden. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor war ein deutscher Mathematiker geboren in Sankt Petersburg, gestorben in Halle an der Saale. Cantor lieferte wichtige Beiträge zur modernen Mathematik.

Ab welcher Anzahl spricht man von einer Menge?

Ist eine Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, dann spricht man stattdessen von einer endlichen oder unendlichen Folge , wenn sich die Folgenglieder mit den natürlichen Zahlen aufzählen lassen das erste, das zweite usw. In einem Tupel oder einer Folge können Elemente auch mehrfach vorkommen, da in der Hauptsache eine Anzahl von Plätzen vergeben wird, die zu besetzen sind. In einer Menge ist dies nicht der Fall, hier geht es nur darum, ob ein bestimmter Gegenstand enthalten oder nicht enthalten ist. In der Mathematik werden häufig Mengen betrachtet, die als ihre Elemente Zahlen oder Punkte eines Raumes enthalten. Das Konzept ist aber auf beliebige Objekte anwendbar: z. Sogar Mengen können als Elemente einer anderen Menge dienen. Die Elemente einer Menge müssen auch nicht von gleichartiger Sorte sein: Möglich ist z. Diese Menge enthält 4 Elemente. Wie in diesem Beispiel kann eine Menge durch reine Aufzählung ihrer Elemente definiert sein; sie kann aber auch durch eine Beschreibung definiert sein, die die Bedingungen nennt, die von Objekten erfüllt werden müssen, um Element der Menge zu sein.

Die Definition einer Menge in der Mathematik

Auch wenn die Mengenlehre noch ein relativ junges Gebiet der Mathematik ist, so finden sich ihre Einflüsse in vielen anderen Teildisziplinien, wie beispielsweise in der Stochastik bei der Verknüpfung von Ereignissen. Dieser Artikel gibt einen Überblick über die wichtigsten Begriffe und Schreibweisen von Mengen. Damit hätten wir eine Menge mit den Elementen 1, 2 und 3 definiert. Es gibt aber noch etliche weitere Möglichkeiten, Mengen zu definieren siehe dazu Definition von Mengen. Eine Menge ist eine ungeordnete Zusammenfassung von unterschiedlichen Elementen. Daher sind zwei Mengen identisch, welche dieselben Elemente enthalten, aber in einer anderen Reihenfolge. Kommt ein Element in einer Menge mehr als einmal vor, ist es das selbe als wenn ein Element nur einmal vorkommen würde. Es gilt also:. Elemente einer Menge können alles sein. Zahlen, Buchstaben, Variablen, Matrizen, Worte und andere Mengen sind nur einige Beispiele. Man sagt, ein Element sei ein Element einer Menge, wenn es in dieser Menge vorkommt.

Anzahl vs. Menge: Wann ist etwas eine Menge?

Für endliche Mengen ist das die Anzahl ihrer Elemente. Die so definierte Gleichmächtigkeit ist eine Äquivalenzrelation und die Mächtigkeit oder Kardinalzahl einer Menge M ist nach Cantor die Äquivalenzklasse der zu M gleichmächtigen Mengen. Er beobachtete wohl als Erster, dass es verschiedene unendliche Mächtigkeiten gibt. Später stellte sich heraus, dass die Frage grundsätzlich nicht entscheidbar ist. Neben Cantor war Richard Dedekind ein wichtiger Wegbereiter der Mengenlehre. Er sprach von Systemen statt von Mengen und entwickelte eine mengentheoretische Konstruktion der reellen Zahlen [6] und eine verbale mengentheoretische Axiomatisierung der natürlichen Zahlen. Giuseppe Peano , der Mengen als Klassen bezeichnete, schuf bereits den ersten formalen Klassenlogik -Kalkül als Basis für seine Arithmetik mit den Peano-Axiomen , die er erstmals in einer präzisen mengentheoretischen Sprache formulierte. Eine andere mengentheoretische Begründung der Arithmetik versuchte Gottlob Frege wenig später in seinem Kalkül von In diesem entdeckte Bertrand Russell einen Widerspruch, der als Russellsche Antinomie bekannt wurde.